Número racional

Un número racional es un número determinado por la razón de algún entero p con algún número natural q distinto de cero. El conjunto de números racionales se denota Q, y representa el conjunto de todas las posibles proporciones de enteros a números naturales p / q. En expresiones matemáticas, los números racionales desconocidos o no especificados se representan con letras minúsculas en cursiva del final del medio o final del alfabeto, especialmente r, s , yt, y ocasionalmente de la u a la z. Los números racionales son de interés principalmente para los teóricos. Las matemáticas teóricas tienen aplicaciones potencialmente de gran alcance en las comunicaciones y la informática, especialmente en el cifrado y la seguridad de datos.

Si r y t son números racionales tales que r <t, entonces existe un número racional s tal que r <s <t. Esto es cierto sin importar cuán pequeña sea la diferencia entre r y t, siempre que los dos no sean iguales. Q es "denso". Sin embargo, Q es un conjunto numerable. La enumerabilidad se refiere al hecho de que, aunque un conjunto puede contener un número infinito de elementos, y aunque esos elementos pueden estar "densamente empaquetados", los elementos pueden definirse mediante una lista que les asigna a cada uno un único número en una secuencia correspondiente al conjunto de números naturales N = {1, 2, 3, ...} ..

Para el conjunto de números naturales N y el conjunto de enteros Z, ninguno de los cuales es "denso", las listas de denumeración son sencillas. Q, es menos obvio cómo se podría construir dicha lista. A continuación se muestra un ejemplo. La matriz incluye todos los números posibles de la forma p / q, donde p es un número entero yq es un número natural distinto de cero. en la matriz. Siguiendo la línea rosa, piense en 0 como la "primera parada", 1/1 como la "segunda parada", -1/1 como la "tercera parada", 1/2 como la "cuarta parada", y así sucesivamente. Esto define una lista secuencial (aunque redundante) de los números racionales. Hay una correspondencia uno a uno entre los elementos de la matriz y el conjunto de números naturales N.

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Demostrar una verdadera correspondencia uno a uno entre Q y N, se debe agregar una modificación al algoritmo que se muestra en la ilustración.Algunos de los elementos de la matriz son repeticiones de valores numéricos anteriores.Por ejemplo, 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10, etc. .Estas redundancias se pueden eliminar imponiendo la restricción, "Si un número representa un valor encontrado previamente, omítalo". De esta manera, se puede probar rigurosamente que el conjunto Q tiene exactamente el mismo número de elementos que el conjunto NAlgunas personas encuentran esto difícil de creer, pero la lógica es sólida.

En contraste con los números naturales, enteros y números racionales, los conjuntos de números irracionales, números reales, números imaginarios y números complejos no son numerables. Tienen cardinalidad mayor que la del conjunto N¡Esto lleva a la conclusión de que algunos "infinitos" son más grandes que otros!