Numero irracional

Un número irracional es un número real que no se puede reducir a ninguna razón entre un entero py un número natural q. La unión del conjunto de números irracionales y el conjunto de números racionales forma el conjunto de números reales. En expresiones matemáticas, los irracionales desconocidos o no especificados generalmente se representan mediante u a z. Los números irracionales interesan principalmente a los teóricos. Las matemáticas abstractas tienen aplicaciones potencialmente de gran alcance en las comunicaciones y la informática, especialmente en el cifrado y la seguridad de los datos.

Ejemplos de números irracionales son 2 1/2 (la raíz cuadrada de 2), 3 1/3 (la raíz cúbica de 3), la razón circular pi y el logaritmo natural base e. Las cantidades 2 1/2 y 3 1/3 son ejemplos de números algebraicos. Pi y e son ejemplos de irracionales especiales conocidos como números trascendentales. La expansión decimal de un número irracional es siempre indeterminada (nunca termina) y no repetitiva (los dígitos no muestran un patrón repetitivo).

Si xyz son irracionales tales que x <z, entonces siempre existe una y irracional tal que x <y <z. El conjunto de irracionales es "denso" como el conjunto Q de racionales. Pero teóricamente, el conjunto de irracionales es "más denso". a diferencia de Q , el conjunto de irracionales no es numerable. Hay más decimales que no terminan ni se repiten de los que es posible enumerar, incluso por implicación. Para probar esto, suponga que hay una lista implícita de todos los números decimales no terminales y no repetidos entre 0 y 1. Cada uno de esos números consta de un cero seguido de un punto decimal, seguido de una secuencia infinita de dígitos del conjunto {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Supongamos que los elementos de la lista se denotan x 1, x 2, x 3, ... y los dígitos de los números se indican a ii. La lista se puede escribir así:

x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ...
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 ...
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 ...
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 ...
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 ...
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 ...
...

Aunque no conocemos los valores reales de ninguno de los dígitos, es fácil imaginar un número entre 0 y 1 que no puede estar en esta lista. Piensa en un número y de la siguiente forma:

y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 ...

tal que no b ii en y es igual al correspondiente a ii en la lista. El número resultante y es no terminante y no repetitivo, está entre 0 y 1, pero no es igual a ningún x i en la lista, porque siempre hay al menos un dígito que no coincide.

La no numerabilidad del conjunto de números irracionales tiene implicaciones de gran alcance. Quizás lo más extraño es la noción de que "no todos los infinitos son iguales". Aunque el conjunto de racionales y el conjunto de irracionales son ambos infinitos, el conjunto de irracionales es más grande de manera demostrable.