Infinito

En general, el infinito es la cualidad o estado de infinitud o que no tiene límites en términos de tiempo, espacio u otra cantidad. En matemáticas, el infinito es la expresión conceptual de tal número "innumerable". A menudo está simbolizado por la lemniscata (también conocida como lemniscata de Bernoulli ), que se parece al número 8 escrito de lado ( ). Este símbolo del infinito fue utilizado por primera vez en el siglo XVII por el matemático John Wallis.

El infinito se puede definir como el límite de 1 / x cuando x se acerca a cero. A veces la gente dice que 1/0 es igual a infinito, pero técnicamente, la división por cero no está definida. Otra noción es que el infinito es una cantidad x tal que x + 1 = x. La idea es que la cantidad es tan grande (positiva o negativa) que aumentar su valor en 1 no la cambia.

Un conjunto (ver teoría de conjuntos) puede definirse como infinito si existe una correspondencia uno a uno entre ese conjunto y un subconjunto propio de sí mismo. Según esta definición, el conjunto de enteros s es infinito porque sus elementos se pueden emparejar uno a uno con todos los enteros pares:

... -3 -2 -1 1 2 3 ...
... -6 -4 -2 2 4 6 ...

Lo contrario de la afirmación anterior no siempre es cierto. Algunos conjuntos infinitos tienen subconjuntos infinitos propios, de modo que no se pueden emparejar uno a uno. Un ejemplo es el conjunto de números reales sy su subconjunto propio, el conjunto de enteros.

En el siglo XIX, Georg Cantor definió el infinito en términos de cardinalidades de conjuntos infinitos. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. En este sentido, la cardinalidad del conjunto de números enteros es menor que la cardinalidad del conjunto de números reales, aunque ambos conjuntos son infinitos. El conjunto de números enteros es numerable (todos sus elementos pueden contabilizarse mediante un esquema de listado), mientras que el conjunto de números reales no es numerable.

En un sentido más realista, las palabras "se acerca al infinito" se utilizan en lugar de las palabras "aumenta sin límite". Por tanto, se dice que el límite de 1 / x, cuando x se acerca al infinito, es igual a cero. En este contexto, el infinito no representa una cantidad definida, sino que es simplemente una expresión conveniente.

Consulte también Símbolos matemáticos.